Como resolver equações de primeiro e segundo grau [Matemática no Enem]

Saber resolver equações de primeiro e segundo grau serve como base para diversos outros assuntos não apenas de matemática, mas também nas demais matérias de exatas.

É um conteúdo básico que aparece nos vestibulares e, mesmo não parecendo, é bem simples!

Nesse artigo, vamos mostrar que não existe bicho de sete cabeças em resolver equações de 1º e 2º grau.

Você vai conferir:

Os conceitos de equação de grau
Passo a passo para resolver equações de primeiro grau
Passo a passo para resolver equações de segundo grau

Os conceitos de equação de grau

Equações de grau são operações para resolver problemas matemáticos com uma ou mais variáveis e, no mínimo, duas equações.

Normalmente, estudamos a equação de 1º grau e 2º grau na escola.

A equação de primeiro grau é aquela equação que envolve apenas soma e a subtração de incógnitas.

Já a equação de segundo grau é aquela com multiplicação ou divisão entre as incógnitas ou alguma variável elevada à segunda potência (x²).

Sendo assim, para resolver essas operações, você precisa dominar assuntos básicos de matemática (soma, subtração, multiplicação e divisão) e potência.

Passo a passo para resolver equações de primeiro grau

Temos dois métodos de resolver equações de primeiro grau: substituição e adição.

Vamos aprender como fazer cada um e escolher o que achar mais fácil

Substituição

Consiste em substituir uma equação na outra. Confira o exemplo:

2x + 5y = 14
x + 2 = 16

Isolando o x na segunda equação, temos:

2x + 5y = 14
x = 16 - 2

Descobrimos assim a primeira variável:

x = 14

Substituindo na equação anterior, temos:

2.(14) + 5y = 14 → 28 +5y = 14

Desse modo, basta fazer a operação para encontrar o y:

28 +5y = 14
5y = 14 - 28
5y = -14
y = -14/5 (14 sobre 5)

Pronto, o resultado é:

x = 14
y = -14/5 (14 sobre 5)

Basicamente, você só precisa isolar a incógnita mais fácil e substituir o resultado dela na outra operação.

Adição

Consiste em somar duas equações de modo que uma das incógnitas se anule.

Para isso, os coeficientes precisam ter sinais opostos. Vamos conferir o exemplo:

3x + 4y = 36
x - 4y = 20

Somando as duas equações, temos:

(3x +4y) + (x - 4y) = 36 + 20

Somando +4y com -4y, o resultado fica zero. Portanto, ficamos com:

(3x + 4y) + (x - 4y) = 56
3x + x = 56

Agora, basta somar a equação e encontrar o valor de x:

3x + x = 56
4x = 56
x = 56/4
x = 14

Substituindo o x na segunda equação, descobrimos o valor de y:

x - 4y = 20
14 - 4y = 20
-4y = 20 - 14
-4y = 6

Como a incógnita não pode ficar negativa, precisamos multiplicar por (-1), ficando:

-4y = 6 . (-1)
4y = - 6
y = - 6/4
y = -3/2

Encontramos os valores de nossas incógnitas:

x = 14
y = -3/2

E se os valores das incógnitas não forem opostos?

Essa é uma dúvida bem comum quando os estudantes utilizam métodos de adição para resolver equações de primeiro e segundo grau.

Caso os valores não sejam opostos, como no exemplo abaixo:

2x + 8y = 56
x - 2y = -14

Você pode multiplicar uma das equações de modo que incógnitas fiquem opostas. Nesse caso, multiplicaremos a segunda equação por -2. Confira:

2x + 8y = 56
x - 2y = -14 (.-2) → - 2x + 4y = +28

Importante:

Você precisa multiplicar toda operação e não apenas a incógnita desejada;
Você precisa mudar o sinal de toda equação.

Portanto, ficamos:

2x + 8y = 56
- 2x + 4y = +28

Basta fazer aquele processo que já conhecemos:

2x + 8y + (- 2x + 4y) = 56 +28
2x + 8y + (- 2x + 4y) = 56 +28
8y + 4y = 84
12y = 84
y = 84/12
y = 7

x - 2y = -14
x - 2.7 = -14
x = 28

Para quem tem mais prática, o método de adição pode ser um pouco mais rápido para o Enem.

Passo a passo para resolver equações de segundo grau

Assim como a equação de primeiro grau, você também pode fazer pelo modelo de adição ou substituição. Vamos aprender:

Substituição

Vamos começar com a seguinte equação:

2x² + 3y = 37
x² - y = 4

Para começar, pegamos a equação mais fácil de isolar, que é a primeira nesse caso:

x² = 4 + y

Substituindo na equação anterior:

2x² + 3y = 37
2.(4 + y)² + 3y = 37
2.(16 + y²) + 3y = 37
32 + 2y² + 3y = 37

Agora, precisaremos organizar a equação para utilizar a fórmula de Bháskara:

32 + 2y² + 3y = 37
+ 2y² +3y - 5 = 0

Primeiro, descobriremos o delta:

Δ= b2- 4ac
Δ = (3)² - 4.2.-5
Δ = 9 + 40
Δ = 49

Em seguida, vamos descobrir os dois valores de y com as duas fórmulas a seguir:

Portanto, temos:

Y’ = (-3 + 49√)/ 2.2
Y’ = (- 3 + 7) / 4
Y’ = 4/4
Y’ = 1

Y’ = -3 - 49√ / 2.2
Y’ = (-3 - 7) / 4
Y’ = -10/4
Y’ = -5/2

Agora, descobriremos os valores de x, substituindo em qualquer uma das equações:

x² - y = 4
x² - (1) = 4
x² -1 = 4
x² = 4 +1
x² = 5
x = 5√

x² - y = 4
x² - (-5/2) = 4
x² +5/2 = 4
x² = 4 -5/2
x² = 3/2
x = 32√

Adição

O processo com adição é bem semelhante ao modelo anterior da equação de primeiro grau. Confira:

x² + 2y² = 24
2x² + 3y² = 64

Como as incógnitas não estão opostas, precisamos multiplicar a primeira por (-2), ficando:

x² + 2y² = 24 (. -2)
-2x² -4y² = -48

Pronto, agora é só somar as duas equações:

(2x² + 3y²) + (-2x² -4y²)= - 48 +64
(2x² + 3y²) + (-2x² -4y²)= -16
3y² - 4y² = -16
-y² = -16 (.-1)
y² = 16
y = 16 $\sqrt[16]{}$ y’= 4
y’’ = -4

Nesse caso, sabemos o valor do y, mas ainda não sabemos os dois valores de x.

Podemos assim substituir em qualquer uma das equações para encontrar:

2x² + 3y² = 64
2x² + 3.(4)² = 64
2x² + 48 = 64
2x² = 64 - 48
2x² = 16
x² = 16/2
x² = +8√
x’’ = -8√

Com o segundo Y:

2x² + 3-² = 64
2x² + 3.(-4)² = 64
2x² + 48 = 64
2x² = 64 - 48
2x² = 16
x² = 16/2
x² = +8√
x’’ = -8√

E então? Qual dos dois modelos você mais gostou? Adição ou substituição?

Independente do modelo, você precisa estudar sozinho bastante para conseguir resolver equações de primeiro e segundo grau no começo.

Após conseguir, vai ficar quase automático. Bons estudos!

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