Enem

Como resolver equações de primeiro e segundo grau [Matemática no Enem]

Por Redação   | 

 Tag: Enem

Saber resolver equações de primeiro e segundo grau serve como base para diversos outros assuntos não apenas de matemática, mas também nas demais matérias de exatas.

É um conteúdo básico que aparece nos vestibulares e, mesmo não parecendo, é bem simples!

Nesse artigo, vamos mostrar que não existe bicho de sete cabeças em resolver equações de 1º e 2º grau.

Você vai conferir: 

Os conceitos de equação de grau
Passo a passo para resolver equações de primeiro grau
Passo a passo para resolver equações de segundo grau

Comece sua graduação EAD agora mesmo! Inscreva-se.

Os conceitos de equação de grau 

Equações de grau são operações para resolver problemas matemáticos com uma ou mais variáveis e, no mínimo, duas equações.

Normalmente, estudamos a equação de 1º grau e 2º grau na escola. 

A equação de primeiro grau é aquela equação que envolve apenas soma e a subtração de incógnitas.

Já a equação de segundo grau é aquela com multiplicação ou divisão entre as incógnitas ou alguma variável elevada à segunda potência (x²).

Sendo assim, para resolver essas operações, você precisa dominar assuntos básicos de matemática (soma, subtração, multiplicação e divisão) e potência. 

Passo a passo para resolver equações de primeiro grau 

Temos dois métodos de resolver equações de primeiro grau: substituição e adição.

Vamos aprender como fazer cada um e escolher o que achar mais fácil

Substituição 

Consiste em substituir uma equação na outra. Confira o exemplo:

2x + 5y = 14
x + 2 = 16

Isolando o x na segunda equação, temos:

2x + 5y = 14
x = 16 - 2

Descobrimos assim a primeira variável:

x = 14

Substituindo na equação anterior, temos:

2.(14) + 5y = 14 → 28 +5y = 14

Desse modo, basta fazer a operação para encontrar o y:

28 +5y = 14
5y = 14 - 28
5y = -14
y = -14/5 (14 sobre 5)

Pronto, o resultado é:  

x = 14
y = -14/5 (14 sobre 5) 

Basicamente, você só precisa isolar a incógnita mais fácil e substituir o resultado dela na outra operação.  

Adição 

Consiste em somar duas equações de modo que uma das incógnitas se anule.

Para isso, os coeficientes precisam ter sinais opostos. Vamos conferir o exemplo:

3x + 4y = 36
x - 4y = 20

Somando as duas equações, temos:

(3x +4y) + (x - 4y) = 36 + 20

Somando +4y com -4y, o resultado fica zero. Portanto, ficamos com:  

(3x + 4y) + (x - 4y) = 56
3x + x = 56

Agora, basta somar a equação e encontrar o valor de x:  

3x + x = 56
4x = 56
x = 56/4
x = 14

Substituindo o x na segunda equação, descobrimos o valor de y:  

x - 4y = 20
14 - 4y = 20
-4y = 20 - 14
-4y = 6  

Como a incógnita não pode ficar negativa, precisamos multiplicar por (-1), ficando: 

-4y = 6 . (-1)
4y = - 6
y = - 6/4
y = -3/2

Encontramos os valores de nossas incógnitas:  

x = 14
y = -3/2

E se os valores das incógnitas não forem opostos? 

Essa é uma dúvida bem comum quando os estudantes utilizam métodos de adição para resolver equações de primeiro e segundo grau.

Caso os valores não sejam opostos, como no exemplo abaixo:  

2x + 8y = 56
x - 2y = -14

Você pode multiplicar uma das equações de modo que incógnitas fiquem opostas. Nesse caso, multiplicaremos a segunda equação por -2. Confira:  

2x + 8y = 56
x - 2y = -14 (.-2) → - 2x + 4y = +28 

Importante:  

  1. Você precisa multiplicar toda operação e não apenas a incógnita desejada;
  2. Você precisa mudar o sinal de toda equação.

Portanto, ficamos:  

2x + 8y = 56
- 2x + 4y = +28

Basta fazer aquele processo que já conhecemos:  

2x + 8y + (- 2x + 4y) = 56 +28
2x + 8y + (- 2x + 4y) = 56 +28
8y + 4y = 84
12y = 84
y = 84/12
y = 7

x - 2y = -14
x - 2.7 = -14
x = 28 

Para quem tem mais prática, o método de adição pode ser um pouco mais rápido para o Enem 

Passo a passo para resolver equações de segundo grau 

Assim como a equação de primeiro grau, você também pode fazer pelo modelo de adição ou substituição. Vamos aprender:  

Substituição

Vamos começar com a seguinte equação:

2x² + 3y = 37
x² - y = 4

Para começar, pegamos a equação mais fácil de isolar, que é a primeira nesse caso:  

x² = 4 + y

Substituindo na equação anterior:  

2x² + 3y = 37
2.(4 + y)² + 3y = 37
2.(16 + y²) + 3y = 37
32 + 2y² + 3y = 37 

Agora, precisaremos organizar a equação para utilizar a fórmula de Bháskara:

32 + 2y² + 3y = 37
+ 2y² +3y - 5 = 0 

Primeiro, descobriremos o delta:  

Δ= b2- 4ac
Δ = (3)² - 4.2.-5
Δ = 9 + 40
Δ = 49 

Em seguida, vamos descobrir os dois valores de y com as duas fórmulas a seguir:

Portanto, temos:  

Y’ = (-3 + 49√)/ 2.2
Y’ = (- 3 + 7) / 4
Y’ = 4/4
Y’ = 1

Y’ = -3 - 49√ / 2.2
Y’ = (-3 - 7) / 4
Y’ = -10/4
Y’ = -5/2  

Agora, descobriremos os valores de x, substituindo em qualquer uma das equações:  

x² - y = 4
x² - (1) = 4
x² -1 = 4
x² = 4 +1
x² = 5
x = 5

x² - y = 4
x² - (-5/2) = 4
x² +5/2 = 4
x² = 4 -5/2
x² = 3/2
x = 32

Adição 

O processo com adição é bem semelhante ao modelo anterior da equação de primeiro grau. Confira:

x² + 2y² = 24
2x² + 3y² = 64

Como as incógnitas não estão opostas, precisamos multiplicar a primeira por (-2), ficando:

x² + 2y² = 24 (. -2)
-2x² -4y² = -48

Pronto, agora é só somar as duas equações:

(2x² + 3y²) + (-2x² -4y²)= - 48 +64
(2x² + 3y²) + (-2x² -4y²)= -16
3y² - 4y² = -16
-y²  = -16 (.-1)
y² = 16
y = 16
y’= 4
y’’ = -4

Nesse caso, sabemos o valor do y, mas ainda não sabemos os dois valores de x.

Podemos assim substituir em qualquer uma das equações para encontrar:

2x² + 3y² = 64
2x² + 3.(4)² = 64
2x² + 48 = 64
2x² = 64 - 48
2x² = 16
x² = 16/2
x² = +8√
x’’ = -8√

 

Com o segundo Y:

2x² + 3-² = 64
2x² + 3.(-4)² = 64
2x² + 48 = 64
2x² = 64 - 48
2x² = 16
x² = 16/2
x² = +8√
x’’ = -8√

E então? Qual dos dois modelos você mais gostou? Adição ou substituição? 

Independente do modelo, você precisa estudar sozinho bastante para conseguir resolver equações de primeiro e segundo grau no começo. 

Após conseguir, vai ficar quase automático. Bons estudos! 

Aproveite e confira outros conteúdos de matemática:

Comece sua graduação EAD agora mesmo! Inscreva-se grátis.